Теорема на Пик, математика, които ми харесват

Да разгледаме прост число nondegenerate многоъгълник (т.е. той е свързан - всеки две точки могат да бъдат свързани чрез непрекъсната крива, изцяло се съдържа в него, и всички негови върхове имат число координати, граница - свързан многоъгълник без самостоятелно кръстовища и има ненулева площ) ,

За да се изчисли площта на полигона, можете да използвате следната теорема:

теорема на Пик. Да предположим, че - броят на целочислени точки от полигона, - броят на целочислени точки на границата, - нейната зона. След следната формула пик:

Пример. За полигон на фигурата (жълти точки), (сини точки, не забравяйте върховете!), Така че квадратните елементи.

Тук можете да направите, за да се изгради най-различни полигони, а площта им ще се изчислява по формула връх (полигони, присъстващи в тази статия, той е построен там).

Вземете Доказателство на теоремата. На първо място, ние отбелязваме, че формулата е вярно за Pick на единица площад. Всъщност, в този случай, ние имаме и двете.

Помислете правоъгълник със страни, лежащи на линиите на мрежата. Нека дължините на страните му са равни, и. Ние имаме в този случай формулата Pick,

Нека сега разгледаме триъгълник с правото крака лежи на координатните оси. Такъв триъгълник се получава от правоъгълник със страни и обсъдени в предишния случай, чрез рязане по диагонал. Нека лежат на диагонални целочислени точки. Като има предвид, в този случай се оказва, че

А сега да разгледаме произволен триъгълник. Той може да бъде получен чрез изрязване на правоъгълника няколко правоъгълни триъгълници и евентуално правоъгълник (вж. Фигури). Що се отнася до правоъгълника, а за правоъгълен триъгълник Pick формула е вярно, ние виждаме, че това е валидно и за произволен триъгълник.

Остава да се вземе последната стъпка: премине от триъгълници на полигони. Всеки многоъгълник може да бъде разделена на триъгълници (например, диагонал). Ето защо, просто трябва да се докаже, че добавянето на всеки триъгълник, за да Теорема произволен многоъгълник Пик е вярно.

Да предположим, многоъгълник, а триъгълник имат една обща страна. Да приемем, че за формула Peak валиден докаже, че е вярно и за полигон в резултат на добавянето. Тъй като и двете имат обща страна, а след това всички интегрални точки от тази страна, но два върха са вътрешни точки на новия полигон. Върховете също ще бъдат на граничните пунктове. Означаваме броя на допирни точки чрез получаване на

- броят на вътрешни цели числа, свързани с новия полигон

- броят на граничните точки на новия полигон.

От тези уравнения, които получаваме

Тъй като сме приели, че теоремата е вярно за и поотделно,

Така теорема Пик доказано.

За съжаление, тази забележителна формула не се генерализира до по-високи измерения, дори и на триизмерната делото. То показа, че Рийв. Помислете Рива тетраедър, чийто върхове има координати

(Тук -. Natural номер) За всеки вътре в този тетраедър никой число точка, и няма целочислени точки на границата, с изключение и. По този начин, в различни обеми и повърхности зони данни тетраедри число брой точки, които се намират в тях и на техните граници, тя остава непроменена, и не може да се получи синтез на Формула връх.

Въпреки това, някои обобщения получени чрез Ерхарт полиноми.