Диференциални уравнения - studopediya

Определение. диференциално уравнение нарича връзката между независима променлива х. неизвестна функция и неговите производни. Ако желаната функция е функция на една независима променлива, диференциално уравнение се нарича обикновено.

Всяка функция. който, когато заместен в уравнението, става за самоличност, наречен разтвор на уравнението. Решение на уравнението, съдържащ произволна константа стойност, се дава.

Първо, за диференциално уравнение е от вида: или. Например; ,

Поръчка (ранг) на диференциално уравнение е от порядъка на най-високата за деривати, включени в него. Общата форма на за диференциално уравнение както следва :.

Общият разтвор на диференциално уравнение на ред е функция. значително в зависимост от произволни константи и обръща в това уравнение за самоличност за всички стойности на тези константи.

Уравнение на формата. където - постоянно реално число се нарича хомогенна линейна втори ред диференциално уравнение с постоянни коефициенти. Решаването му е функцията форма. Диференциране го има. , Уравнение получава чрез заместване на състояние и стойности. Той има формата - нарича характеристика уравнението на диференциално уравнение.

Решение или да се интегрира, предвид диференциално уравнение - това означава да се намери общ разтвор, който има формата :. Разтворът, който е получен от общия разтвор за някои фиксирана стойност на произволна константата С се нарича специално разтвор: ако. , че такива условия се наричат ​​първите.

Най-простият класове диференциални уравнения:

1. след това, ако е взето на интеграл, то уравнението е интегрирана в елементарни функции.

2. уравнението на формата (дясната страна не съдържа х). защото , след това. , Интегрирането на двете страни, ние имаме: или (корени могат да бъдат загубени).

3. уравнение с разделени променливи. т.е. уравнение на формата :. или

4. уравнение с разделящи се променливи е от вида: или. Тя може да бъде записано като :.

Определение 1. Математически израз нарича числена серия, или просто едно число, и числата се наричат ​​членове на серията. Приложни и запис :.

Редица предполага да се даде, ако знаете, че общият термин.

Сумата от краен брой от гледна точка на серията. , и т.н. наречените частични суми (сегменти) на серията.

Определение 2. Ако има ограничение. След серия се нарича конвергентна. и броя на S - сумата от тази серия.

Ако тази последователност не е граница, серията се нарича разходящ.

Дивергенти серия не е сума.

13.2. Признаци на конвергенция на серията:

Ако серията клони, а след това общият термин клони към нула, както н увеличения за неопределено време. т.е. (Необходимо условие за сближаването на поредицата).

Ако общият срок на серията, не са склонни към нула, а след това серията се отклонява.

тест на Alembert. ако е налице положителна серия. след серия клони, а когато - е за отклоняване.

сериен номер са постоянни знаци и променливо. ако всички условия на поредицата само положителен, то znakopolozhitelny номер; ако всички членове - отрицателен, той znakootritsatelny номер; ако не и всички членове имат един и същ знак, това е серия променливо.

Редица от тях са членове на функцията. Те призоваха функция. Пример.

Ако броят на функционален добавят стойност. броят ще бъде число.

Мощност серия, наречена функционална серия от формата. където - са константи, наречена коефициентите на степенния ред.

. Тази серия се доближава само когато. С цялата тази серия се отклонява. Това се отнася до броя на редовете на първи клас.

Има една серия сила, която се сближат върху цялата реална ос. Тези редове са редовете на втори клас. Например, серията клони върху цялата реална ос:

Редовете, които не принадлежат към редиците на първи и втори клас, трети клас са в един ред.

Пример номер; има редица от трети клас, защото ,

Определение. номер. че клони на мощност серия и се различава наречени радиус на конвергенция. За редовете на първи клас; в продължение на няколко секунди клас.

Ако съществува номер и е различна от нула граница. след това. В примера по-горе, зона за конвергенция.

13.3. Редовете от степента на различие

Мощност серия се нарича още функционален набор от вида. Интервал на сходимост на серията е центрирана в.

Ако функцията е сумата на степенен ред, тогава ние казваме, че функцията може да се разшири в степенен ред в правомощия.

Редица видове. Той нарича поредицата Тейлър.

Коефициентите на тази серия :. , , ... се наричат ​​Тейлър коефициентите на функцията на.

Ако. получаваме специалния случай на поредицата Тейлър, Maclaurin серия :.