умножение корени

Поздрави, котка! Последният път, когато е описано подробно какво корените (ако не си спомня, аз препоръчвам четене). Основният извод на урока: има само един универсален определение на корените, и това, което трябва да се знае. Останалата част - глупости и загуба на време.

Днес ние отиде по-далеч. Нека се научим да се размножават корените, да разгледа някои от проблемите, свързани с размножаването (ако тези проблеми не са решени, а след това на изпита, те могат да бъдат фатални), и как трябва да се практикува. Ето защо, зареден с пуканки, седнете - и ние започваме :).

Вие също не е съвсем получа?

Урок оказа доста голям, така че аз го разделя на две части:

1. Първо ще разгледаме правилата за умножение. Cap, както подсказва: тя е, когато има две корени, сред тях е знак за "размножават" - и ние искаме да направим нещо по въпроса.
2. Нека разгледаме тогава обратната ситуация: има един голям корен, и ние сме нетърпеливи да го представи като произведение на две прости корени. С уплашен е необходимо - отделен въпрос. Ще разгледаме само алгоритъм.

Тези, които не могат да чакат, за да отидете направо на втората част - вие сте добре дошли. С останалата част от поръчката старт.

Основното правило за умножение

Да започнем с най-простите - класически квадратни корени. Тези, които са обозначени $ \ SQRT $ и $ \ SQRT $. като цяло очевидно за всички тях:

умножение правило. За умножение на корен квадратен от единия към другия, просто трябва да се размножават си radicands, в резултат на запис под радикала:

Всички допълнителни ограничения по отношение на броя на стои на надясно или наляво не се налага, ако съществуват корените на мултипликатори, и продуктът е също там.

Примери. Помислете само четири примери с номера:

Както можете да видите, основният смисъл на това правило - опростяване на ирационални изрази. И ако в първия пример, ние ще се научихме корените на 25 и 4, без каквито и да било нови правила, то тогава започва калай: $ \ SQRT $ и $ \ SQRT $ сам по себе си не се считат, но техният продукт е точен квадрат, така че коренът на това е рационално число.

Отделно искам да обърнете внимание на последния ред. Има както радикал изразяване представляват фракции. Поради продукта от много фактори са намалени, и цялата експресията се трансформира в достатъчен брой.

Разбира се, не всичко е толкова красива. Понякога, под корените ще бъде пълна бъркотия - не е ясно какво да правя с него и как да се трансформира след умножение. Малко по-късно, когато започнете да изследвате ирационални уравнения и неравенства, като цяло ще има най-различни променливи и функции. И много често авторите на проблемите, просто разчитат на факта, че вие ​​ще намерите някои рязане условия или фактори, тогава задачата е опростени веднъж.

Освен това, не е необходимо да се размножават два корените. Може да се умножава само три, четири - но най-малко десет! Обикновено това не се променя. Обърнете внимание:

Отново кратък коментар на втория пример. Както можете да видите, в третия фактор при корена трябва десетична - ние замени обичайното си по време на изчислението, а след това всичко е лесно. И така: аз силно препоръчвам да се отървем от десетични числа в някакви ирационални изрази (т.е., съдържащ най-малко един радикален на иконата). В бъдеще, то ще ви спести много време и нерви.

Но това е отклонение. А сега да разгледаме по-общия случай - както в индекса на корена на произволен брой $ п $, а не само на "класическата" дяволите.

Произволно число

Така че, с подредени в квадратен корен. И какво да правим с куба? Или дори корените на произволна степен $ п $? Да, всички едни и същи. Правилото остава един и същ:

За да умножите двете корените на степен $ п $, това е достатъчно, за да се размножават си radicands, и след това да напишете в резултат на радикално един.

В общи линии, нищо сложно. Освен, че размерът на изчисление може да бъде повече. Нека разгледаме няколко примера:

Примери. Изчислете продукта:

Отново, имайте предвид, че вторият експресията. Умножаваме корените на куб, да се отървете от десетичната запетая и накрая получаваме продукта в знаменателя на числата 625 и 25. Това е доста голям брой - Аз лично не разчитам на движение, така че да е равен.

Така че ние просто определени точните кубически метра в числителя и знаменателя, а след това използвайте един от основните свойства (или, ако щете - по дефиниция) в главната $ N $ та степен:

Такива "машинации" може да ви спести много време на теста или работата за контрол, така че не забравяйте:

Не бързайте да се увеличи броя на радикален израз. Първо проверете: какво, ако има "криптиран" точната степен на изразяване?

Когато всички доказателства на тази забележка трябва да признаем, че повечето студенти неподготвени да се съсредоточат не виждате определена степен. Вместо това, те се размножават всички пред нищо, а след това се чудя, защо го имам такива брутални номера :)?

Всичко това обаче бебешки език в сравнение с факта, че ние изучаваме днес.

Умножение корени с различни индекси

Е, сега ние знаем как да се размножават корените на едни и същи показатели. Какво става, ако различни показатели? Например, как да се размножават нормално $ \ SQRT $ на някакъв вид глупости $ \ SQRT [7] $? Могат ли да го направя?

Да, разбира се, че можеш. Всичко е направено тук, на тази формула:

Умножение управлява корени. За да се размножават $ \ SQRT [п] $ до $ \ SQRT [п] $, изпълняват достатъчно тук тази трансформация:

Въпреки това, тази формула работи само при условие, че radicands неотрицателна. Това е един много важен момент, към който ще се върнем по-късно.

В същото време, нека разгледаме няколко примера:

Както можете да видите, нищо сложно. Сега нека видим, откъде изискването за не-негативност, и какво ще се случи, ако го счупи. :)

Умножете корени лесно

Защо radicands трябва да са не-отрицателни?

Разбира се, можем да станем като учители и мъдро цитирам учебника:

Изискването за не-негативност поради различните дефиниции на дори и нечетни степен корени (съответно, домейнът са различни, също).

Е, стана ясно? Лично, когато прочетох тази глупост в 8-ми клас, разбрах за себе си нещо като това: "изискването за не-негативност, свързани с * # ^ @ (* @ # ^ #)

% "- накратко, аз нихром по това време не разбирам :).

Така че сега аз се обясни всичко е нормално.

Първо, разберете къде общ мултиплициращ взето формула даден по-горе. За да направите това, напомня една важна характеристика на корена:

С други думи, ние можем лесно да се изгради радикален израз във всяка пълна степен $ к $ - когато този показател трябва да бъде умножена по корен на една и съща степен. Ето защо, ние можем лесно да намалим всички корени на общия индекс, а след това се размножават. Следователно взети умножение формула:

Но има един проблем, който силно ограничава използването на тези формули. Нека разгледаме тук е броят:

Според формулата, просто цитира, можем да добавим някаква степен. Нека се опитаме да добавим $ К = 2 $:

Но след това се оказва, някои глупости:

Това не може да бъде, защото $ \ SQRT [3] \ LT 0 $ и $ \ SQRT [3] \ GT 0 $. Така че нашата формула не работи дори и правомощия и отрицателни числа. След това, ние имаме две възможности:

1. Да бъде убит на стената заяви, че математиката - това е глупаво науката, където "има някои правила, но това е неточно";
2. Въвеждане на допълнителни ограничения, при които формулата ще бъде работещи на 100%.

В първия случай ние трябва постоянно да хване случаи на "необслужвани" - това е трудно, дълго и като цяло фу. Следователно, второ предпочитано изпълнение на математиката. :)

Но не се притеснявайте! На практика това ограничение не засяга изчислението, тъй като всички по-горе проблеми се отнасят само до корените на странно степен, и от тях, можете да направите минуси.

Ето защо, ние формулираме още едно правило, което се прилага по принцип за всички действия от корените:

Преди да се умножат корени, се уверете, че radicands не са отрицателни.

Пример. Сред $ \ SQRT [3] $ може да бъде изваден от минус знака на корена - тогава всичко ще бъде в норма:

Виждате ли разликата? Ако оставите отрицателен корен на radicand в изграждането на площада, той ще изчезне и да започне глупости. И ако направите негативно на първо място, след това можете да най-малко, докато не сте син натрупване / премахване на площада - броят ще бъде отрицателен :).

По този начин, най-правилното и най-надеждният начин за умножаване на корените на следното:

1. Премахнете всички недостатъци на радикално. Минуси са само в корените на нечетен множество - те могат да бъдат поставени пред корена и намали, ако е необходимо (например, ако тези недостатъци ще бъдат две).
2. Извършване на умножение по обсъжданите по-рано през днешния урок правила. Ако корените на същите фигури, просто умножете радикали. И ако са различни - използването зло формула \ [\ SQRT [п] \ cdot \ SQRT [р] = \ SQRT [п \ cdot р]> \ cdot ^ >> \].
3. 3.Naslazhdaemsya резултат и добри оценки. :)

И какво? Ние практика?

Пример 1: Опростяване на израза:

Това е най-лесният вариант: корените на същите фигури и странно, че проблемът е само в червено във втория фактор. Извадете отрицателен nafig, тогава всичко е лесно да се брои.

Пример 2: Опростяване на израза:

Има много да се бърка с факта, че продукцията ще получи ирационално число. Да, това се случва, че ние не бяхме в състояние напълно да се отървете от корена, а най-малко значително опростен израз.

Пример 3: Опростяване на израза:

Тук, на тази мисия би искал да привлече вниманието ви. След това трябва само две точки:

1. Под корена не трябва определен брой или власт, а променливата $ от $. На пръв поглед, това е малко необичайно, но в действителност при решаване на математически задачи, често трябва да се справят с е променлива.
2. В крайна сметка успяхме да "намали" на скоростта и степента на корена в radicand. Това се случва доста често. А това означава, че е възможно да се опрости значително изчисленията, ако не използвате основната формула.

Например, можете да направите това:

В действителност, всички трансформации бяха извършени само с втория радикал. И ако не се боядисват подробно всички междинни етапи, резултатът ще бъде значително намалено количество на изчисление.

В действителност, ние вече се сблъска с подобна задача по-горе, когато решен например $ \ SQRT \ cdot \ SQRT [4] $. Сега е възможно да рисува много по-лесно:

Е, с корените на умножение е сортиран. А сега да разгледаме обратната операция: какво да правим, когато един корен е продукт?

• Безплатна Подготовка за изпита 7 прости, но много полезни уроци + домашна работа
•